2017年长江大学环境工程601高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设封闭曲线L 的极坐标方程为
【答案】【解析】
2． 设L
为正向圆周_____。
【答案】
在第一象限的部分，
则曲线积分
的值为
。
，则L 所围平面图形的面积是_____。
【解析】将曲线方程转化为参数方程
则
3． 设
【答案】0
【解析】考察旋度的计算。
，其中
则
_____。
4． 设曲线
【答案】216π 【解析】
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，取逆时针方向，则_____。
解法一：再用参数方程化为定积分：
解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线
，分别位于上半平面与下半平面，并
则有
，均为逆时针方向，见下图。
其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。
围成的区域记为
，它们的面积相等为3π。在
解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分=
对y 为偶函数，则。
，则在[A；和（x ，y ，z ）
上用格林公式得
5． 设在坐标系[O；i ，j ，k]中点A 和点M 的坐标依次为i ，j ，k]坐标系中，点M 的坐标为_____, 向量
【答案】
【解析】点M 的坐标为
的坐标为_____. ，向量
的坐标为
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6． 级数
【答案】
等于_____。
【解析】由于
故
和平面y=0的交线绕x 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为_____。
绕x 轴旋转一周所得的曲
a 与b 的夹角为
，
，则
=_____。
7． 曲面
【答案】
【解析】本题可看作是在在二维坐标系xOz 中，求解曲线面方程，则所求旋转曲面方程为
8． 已知三向量a , b , c , 其中
【答案】±27 【解析】由题设知
由于
，则
c ∥（a ×b ）
9． 设∣a ∣=3，∣b ∣=4，∣c ∣=5，且满足a+b+c=0，则∣a ×b+b×c+c×a ∣=_____
【答案】36 【解析】由由又由
知
知
，即
知以向量a ，b ，c 为边的三角形为直角三角形，且
10．幂级数
【答案】
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，即
. 故
的收敛半径为_____。