2017年河北师范大学数学与信息科学学院818高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ，于是分布在区间[0，x]上细棒的质量m 是x 的函数m=m（x ）。应怎样确定细棒在点x 0处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）?
【答案】在区间[x0，x 0+△x]上的平均线密度为
在点x 0处的线密度为
2． 设
【答案】f （x ）在
及
要使f （x ）在
内连续，应当怎样选择数a ？
内连续，只要选择数a ，
内均连续，要使f （x ）在
使f （x ）在x=0处连续即可，而
又
，故应选择
在x=0处连续，从而
在
内连续。
3． 在y 轴上求与点A （l ，﹣3，7）和点B （5，7，﹣5）等距离的点.
，由
【答案】根据题意，设所求点为M （0，y ，0）
得y=2.故所求点M （0, 2, 0）.
4． 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程:
（1）（2）
【答案】（1）将入（z+C）+y=1中，得
（2）将
2
2
（其中C 为任意常数） （其中C 1.C 2为任意常数）
两端关于x 求导，得
关于x 求二次导数，得
即有
将其带
把以上两式看成是以C 1与C 2为未知量的线性方程组，解得代入
得
即
5． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
在
内却不是单调函数。
内为单调增加函
数。但它的导函数
6． 计算下列二重积分
（1）域；
（2）（3）（4）
【答案】（1）D 可表示为
，其中
，其中D 是圆周
，其中
，于是
所围成的闭区域；
。
,
由于
，其中D 是顶点分别为和的梯形闭区
（2）由于
故
（3）利用极坐标计算，在极坐标系中，有
于是
（4）利用对称性可知
，又
因
此
7． 设有质量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动（如图所示）
。设摩擦系数
, 问力F 与水平线为多少时, 才可使力F 的大小为最小。 【答案】如图所示, 力F 的大小用
表示, 则由
设令又
的最大值点, 这时, 即
知
, 则
, 得驻点
,
所以驻点
为极大值点, 又驻点惟一,
因此
时, 力F 的大小为最小。
为函数