2018年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研核心题库
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2018年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研核心题库（五）..57
一、计算题
1． [1]
考虑方程组
其中函数X （x ，y ），Y （x ，y ）在单连通区域D 内有连续偏导数. 假设存在函数B （x ，y ），其一阶偏导数于域D 内连续，
且
不变号和不恒等于零，试证明上述方程组于域D 内不存在任何周期解.
[2]
证明方程
没有极限环存在，其中a , b , α, β为常数，且b ≠0. （提示：利用题[1]结果. ）
【答案】[1]用反证法. 假设方程组在域D 内存在周期解，即在相平面上有闭轨线，设为C ，并设C 所包围的区域为G ，则由Green
公式有
由假设因而上式右端不等于零.
而左边
得出矛盾，因而原方程组在域D 内不存在周期解.
[2]
令
则原方程可化为
显然，函数
.
有
在整个二维平面内有连续偏导数.
取则
由于所以上式不变号，且不恒等于零. 因此由题[1]结果知，此方程没有极限环存在.
2． 求解下列常系数线性微分方程
：
【答案】（1
）特征方程为
或
即得
共4个单根，
于是方程的通解为
其中为任意常数.
或
|
即得是三重根，因此方
（2）
特征方程为
程的通解为
其中为任意常数.
（3） 特征方程为
所以方程的通解为
这里
（4）
特征方程为
是任意常数. 即得特征根为即得特征根为
所以方程的通解为
这里
当是任意常数. 即得
代入方程则得到
’时，
设方程有特解
（5）
特征方程为
所以方程的解为
当时，
原方程化为对方程两次积分，
即得
这里是任意常数.
（6
）对应齐次方程的特征方程为
即得特征根为
设方程有特解
所以原方程的通解为
这里c1，c2，c3为任意常数.
（7
）对应齐次方程的特征方程为
即得特征根为
令方程的一个特解为
于是原方程的通解为
这里是任意常数. 代入原方程则
代入原方程则得到
（8
）对应齐次方程的特征方程为
即得特征根为
令方程的一个特解为
于是方程的通解为代入方程则得到
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