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一、计算题

1． 作曲线运动的两个动点，初速度相同、运动轨迹相同、运动中两点的法向加速度也相同。判断下述说法是否正确:

（1）任一瞬时两动点的切向加速度必相同； （2）任一瞬时两动点的速度必相同； （3）两动点的运动方程必相同。

【答案】由题设条件知，两动点任一瞬时切向加速度必相同，因此，任一瞬间两动点的速度必相同，运动方程必相同。

2． 图所示机构, 偏心轮是均质圆盘, 其半径为r , 质量为m , 偏心距

在外力偶M 作用下圆

时,

如

盘绕轴O 转动. 刚度系数为k 的弹簧压着托板AB , 使它保持与偏心轮接触. 当角为零时, 弹簧未变形. 设托板及其导杆的总质量也是m , 不计摩擦, 求圆盘转动的微分方程. 又, 当

这时托板的加速度为多大？

图

【答案】以弹簧变形量x 和圆盘转过的角度为广义坐标, 则可得:

代入拉格朗日方程可得运动微分方程为:

因为托板的加速度为:

所以可得当

时,

3． 弹簧连杆机构如图所示, AB 为均质杆, 质量m=10kg, 长1=0.6m, 其余构件的质量不计. 不计摩擦, 弹簧K 的刚度系数k=200N/m, θ=0时弹簧为原长. 试求系统的平衡位置, 并分析其稳定性

.

图

【答案】如图所示.

以为广义坐标, 则整个系统的势能为

令又因为

所以将当当

代入, 可得:

时, 系统不稳定平衡；

时, 系统稳定平衡.

成角, 如

可解得:

4． 轴AB 与铅直线成角, 悬臂CD 与轴垂直地固定在轴上, 其长为a , 并与铅直面图1所示。如在点D 作用铅直向下的力F , 求此力对轴AB 的矩。

图1

【答案】如图2所示, 将F 分解为沿AB 轴和CDE 平面的两个分量, 可得

图2

5． 如图所示. 重为P 的板搁在两个半径为r 、重为W 的磙子上, 磙子可视为均质圆柱. 设接触面足够粗糙, 磙子与板和水平面之间均无相对滑动. 在板上作用一水平拉力F , 求板的加速度

.

图

【答案】拉格朗日方程

该系统只有一个自由度, 取板的水平位移x 为广义坐标, 列出每部分的动能

总动能为

代入拉格朗日方程

解得

6． 刚体绕两个平行轴转动的合成是否为平面运动？两平行轴转动合成的分析方法与基点法有什么异同？

【答案】是平面运动；基点法求出的是刚体的绝对角速度和绝对角加速度、其相对动系的角速度，角加速度就是绝对值，而合成分析方法则有绝对、相对、牵连角速度、角加速度之分. 求刚体上任意点的速度与加速度，基点法是刚体平面法，后一种方法是点的合成分析法.