2017年青岛科技大学数理学院860高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
3． 设
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
则3条直线
（其中
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线性无关.
线性无关.
.
则也不是线性变换，
比如给
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 求一个x 次方程使
【答案】
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是任意常数.
7． 设n 阶方阵主对角上元素为1和0.
【答案】由于因子只能由
于是A 相似于
且故A 满足构成.
证明：存在可逆方阵P ，使与皆为对角矩阵且
的初等
因而A 的最小多项式整除
故存在可逆方阵使
令即由此得又由
则由得
可得从而于是由上同理可得
其中则由
可逆且再令
，，及（6）（7）（8）得
8． 设V 是数域P 上3维线性空间，线性变换
在V 的基
问，可否在V 的某组基下矩阵为
为什么？
【答案】设A 的特征矩阵为
I 的特征矩阵为
则
下矩阵为
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