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一、计算题

1． 汽车的质量为m=2450kg, 压在4个车轮的弹簧上, 可使每个弹簧的压缩量为占

为

了减小振动, 每个弹簧都装一个减振器, 结果使汽车上、下振动迅速减小, 经2次振动后, 振幅减到0.1倍,

求:（1）振幅减缩因数η和对数减缩

（2）

和衰减振动周期

（3）如果

要求汽车不振动, 即要求减振器有临界阻尼, 求临界阻力系数分方程为:

（1）对数减缩

【答案】车身的铅垂振动是有阻尼自由振动, 设车身静平衡位置为坐标原点, 则车身的运动微

振幅缩减因数

（2）衰减振动周期

衰减系数

（3）临界阻尼系数

2． 在图所示系统中, 已知:匀质圆球A 的半径为r 、质量为m , 楔块B 的质量为M , 置于光滑水平面上, 斜面的倾角为θ, 圆球沿楔块斜面作纯滚动. 试求:

（1）以和X 为广义坐标, 用拉氏方程建立系统的运动微分方程； （2）圆球A 的角加速度和楔块B 的加速度a. （已知M=4m）

图

【答案】取整个系统为研究对象, 系统具有两个自由度. 如题取坐标x 和圆柱体的转角为广义坐标. 可运用运动学原理求解.

以A 的圆心O 为动点, B 为动系, 则根据速度合成公式有:系统的动能为:系统势能为:拉格朗日函数为:代入拉式方程:化简得:

解得:

3． 图1所示均质杆AB 长为1, 质量m , 其两端销子可分别在水平槽、铅垂槽中滑动, 问, 弹簧刚度系数为多大时, 振动才可能发生

.

为静平

其中:

衡位置. 不计销子质量和摩擦, 如水平槽内两弹簧刚度系数皆为k , 求系统微幅振动的固有频率. 又

图1

【答案】

图2

选取角为广义坐标, 设

时, 系统的势能V=0

微幅振动时, 势能可表示为:

设杆AB 的速度瞬心为P. 系统的动能为:

其中, 所以

由已知条件可知, 运动过程中机械能守恒, T+V=常量 所以得到:

化简后得:

能发生振动的条件是:此时振动的固有频率是:

在杆运动过程中与竖直方向夹角为时, 系统的势能为:

即