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一、计算题

1． 已知图1所示曲线为旋轮线, 其方程为:

一小环M 在重力作用下沿该光滑曲线运动, 求小环的运动微分方程

.

图1

【答案】如图2所示, 以为广义坐标,

图2

选取

时为零势能位置, 可得:

将L=T-V代入拉格朗日方程可得运动微分方程为:

2． 一质量为m 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为r ，如图1所示。设物体与转台表面的静摩擦因数为

求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。

图1

【答案】以物体为研究对象，如图2所示。

图2

当物体处于滑出的临界状态时物体所需的最大向心力由最大静摩擦力提供

其中

解得所以

3． —变质量摆在阻力与速度成比例的介质中运动. 摆的质量由于质点的离散，

按已知规律

而变化，且质点离散的相对速度为零. 已知摆线长为1，摆上受到与其角速度成比例的阻

力

（为摆的角速度，为常数）的作用，试写出摆的运动微分方程式.

【答案】定质量下单摆的运动方程为:

方程两边同乘m ，可得:

变质量下质点的运动方程为:

将v 与

做替换，联立①②单摆的运动微分方程式为:

4． 如下计算对吗？

式中

分别是绝对轨迹、相对轨迹上该处的曲率半径，为动参考系上与动点相重合的那

一点的轨迹在重合位置的曲率半径。

【答案】以上各式均正确。

5． 锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心O , 如图1所示. 锥齿轮在支座齿轮上滚动，每分钟绕铅垂轴转5周. 如R=2r，求锥齿轮绕其本身轴OC 转动的角速度

和绕瞬轴转动的角速度

图1

【答案】

图2

以0C 为动系，根据角速度的叠加原理

，其中

，则: