2017年复旦大学人体解剖学、高等数学(同等学力加试)之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
在几何上表示什么？
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
2． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则它们是线性相关的，否则就线性无关，因此本题中除了
（2）（3）（7）性无关。
3． 设函
数
，…设
【
是曲线
答
，定义函数
列
案
，
，…，
； 】
，直线x=1，y=0所围图形的面积，求极限
即（2）（3）（7）中的函数组线性相关外，其余的7个函数组中两函数之比不是常数，从而线
利用数学归纳法可得，，则
故
4． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
满足
求f （u ）的表达式。
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故
的表达式为
代入，可得
为任意常数。
其中
为为任意常数。
可知
，这是一个二阶常用系数线性
二、计算题
5． 试证明方程误差不超过0.01。
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点至少有一实根。又即的实根。
现用切线法求这个实根的近似值: 由
在区间（-l , 0）内有惟一的实根, 并用切线法求这个根的近似值, 使
在
, 使
上连续, 且
, 即方程
在区间（-1, 0）内
,
, 在区间（-1, 0）内有惟一
, 故函数f （x ）在[-1, 0]上单调增加, 从而方程
在（-1, 0）内至多有一个实根, 因此方程
知取, 利用递推公式, 得:
故使误差不超过0.01的根的近似值为
6． 己知制作一个背包的成本为40元, 如果每一个背包的售出价为x 元,
售出的背包数由
给出, 其中a , b 为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润?
【答案】设利润函数为p （x ）, 则
令由
, 得
知
（元）
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大值点, 即售出价格
定在60元时能带来最大利润。
7． 设函数f （x ）在
内具有一阶连续导数，L 是上半平面（y>0）内的有向分段光
，终点为（c ，d ）滑曲线，其起点为（a ，b ）。记
（1）曲线积分I 与路径无关; （2）当ab=cd时，求I 的值。 【答案】（l ）因为
在上半平面这个单连通区域内处处成立，所以在上半平面内曲线积分与路径L 无关。 （2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点（a ，b ）到点（c ，b ）再到点（c ，d ）的有向折线， 从而得
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