2017年华南理工大学物理与光电学院630量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
2． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
和
即都为自旋分量的本征态。在
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
二、计算题
3． 在【答案】
本征方程为：
即：
表象中，求
是
方向的单位矢。
的本征值和本征态，这里，
由此得：即：
有非零解的条件是：由此得：可求得与
对应的本征矢为：
与
4． 若【
对应的本征矢为：
求
答
案
】
5． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符
满足
的矩阵表示。
且求：
（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，
在A 表象中算符的矩阵是
：设在A 表象中算符
的矩阵是由于
所以：
则有：
所以：
利用
得：
所以算符的本征值是
因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，
由于是厄米算符，
则有：令
其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：
（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：
α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对
有：
对
有：
所以，在B 表象中算符的本征值是
，本征函数为：
和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是
则
即
则有：
可得：
本征函数为：
从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：
6． 二电子体系中，
总自旋【答案】（
写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
）的归一化本征态记为则自旋单态为：
自旋三重态为：
7． 一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有
中运动，求粒子的能级和对应的波函数.