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一、填空题

1 设体系的状态波函数为．量

2． 如图所示，有一势场为：

，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。

的关系为_____。

如在该状态下测量力学是F 在确定的值

则力学量算符与态矢

【答案】

图

【答案】 3 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】

写出粒子在球壳

中被测到的几率_____。

4． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）

【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.

5． 一粒子的波函数【答案】 6．

【答案】主；角；磁；

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则粒子位于

间的几率为_____。

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

二、简答题

7． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

8． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

9．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

10．写出在【答案】

表象中的泡利矩阵。

的对易关系.

11．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

12．反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关； （4）由于电子具有自旋。

13．厄米算符的本征值与本征矢

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

14．归一化波函数是否可以含有任意相因子 【答案】可以。因为

如果

对整个空间积分等于1，则

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对整个空间积分也等于1。

即用任意相因子归一化。

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

三、计算题

15．考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬

同本征矢

（2）如果初始时刻t=0粒子的态为（3）发现粒子处在【答案】（1）由于

求在t ＞0后粒子的态？

为基，求自旋算符S 的矩阵表示.

中（为x 轴

态的概率是多少?

故

由于哈密顿量为（2）由定态方程

则能量本征态对应于

解得

本征态.

而故t ＞0后粒子的态为

（3）由于

故所求概率为

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