2017年南通大学电气工程学院816高等代数(二)考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
3．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到
基
【答案】（A ）
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
二、分析计算题
6． 证明：如果A 是正定矩阵，那么A 的主子式全大于零，所谓主子式就是行指标与列指标相同的子式.
【答案】对任意
行，
列的主子式. 补充
则
使
是1,
2, …，n 的一个排列. 作可逆线性替换：
这时仍正定. 它的顺序主子式：
这是原矩阵A 的任意
7． 将
件时，Q 为正定.
【答案】（1）当a=0时，
行，列的主子式.
化为标准形，求出变换矩阵，并指出a ，b ，c 满足什么条
作非退化线件替换
即可将Q 化为标准形次型.
（2）当
时，有：
但这时无论b ，c 为何值Q 都不能为正定二
令
即作非退化线性替换
可将Q 化为标准形
所以当
时，Q 为正定二次型.
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