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一、计算题

1． 设

是来自U （-1, 1）的样本, 试求

和

2． 已知在文学家萧伯纳的An Intelligent Woman’s Guide To Socialism.—书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即中的单词数分别为

求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布

的最大似然估计.

的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即

由于最大似然估计具有不变性，因而

的最大似然估计为

3． 甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球.

（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；

（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.

【答案】记事件A 为“从乙口袋取出的这个球是白球 （1）对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得

（2）对甲口袋取出的两个球分三种情况：两个白球、一黑一白、两个黑球. 使用全概率公式可得

今从该书中随机地取20个句子，这些句子

【答案】均匀分布U （—1, 1）的均值和方差分别为0和1/3, 该样本容量为n , 因而得

4． 由经验知某零件质量为

（单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量

已知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取双侧假设检验问题，

检验的拒绝域为可算得，

由于

由

）？

查表知

使用样本数据

【答案】本题归结为对方差已知时检验正态总体均值μ=15的问题，而且这是，而且这是一个

故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.

5． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

6 设总体X 服从几何分布, 即．

为该总体的样本. 分别求【答案】容易看出所以

同样可以得到

此式对k=l也成立, 因为

所以

的分布列为

可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 事实上,

由于

从而

而其和

下面求所以

类似有

所以

的分布列为

知

其中

的概率分布.

所

以

的分布列. 由于

同样可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 这里非负性是显然的, 而其和

7． 设

是来自

的样本,

试求常数c 使得

的自由度.

【答案】由条件:立, 因而

, 故

这说明当

8． 设回归模型为

试求

的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？

时,

, 自由度为

且

相互独

服从t 分布, 并指出分布

【答案】似然函数为

其对数似然函数为

导并令导函数为0，得到如下似然方程组

经过整理可以解出

可以看到

的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.

（忽略常数项），将其分别对

求

二、证明题

9． 设总体X 的密度函数为：