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一、证明题

1． 证明:对正态分布

，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大

似然估计不存在.

2． 设随机变量X

有密度函数Y=与

不相关、但不独立. 【答案】因为

不相互独立，特给定

使得

所以X 与

不独立.

3． 用概率论的方法证明:

【答案】设故

服从参数

为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数

又由泊松分布的可加性知，

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知

4． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，

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且密度函数所以

是偶函数，假定

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

证明:X 与不相关.

为证明

的泊松分布

，则与的联合分布为

即成功概率p 的后验分布为塔分布族.

5． 证明下列事件的运算公式:

（1）（2）

【答案】（1）右边=（2）利用（1）

有

=左边. , 所以

，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝

6． 设

为独立随机变量序列，且

服从大数定律.

相互独立，且

服从大数定律.

试证明:当n 充分大时

，

由此可得马尔可夫条件

证明:

【答案】因为由马尔可夫大数定律知

7． 设

为一独立同分布的随机变量序列，已知

近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.

【答案】因为为独立同分布的随机变量序列，所以也是独立同分布的随机变量序列.

根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为

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8． 设

证明:

为独立随机变量序列，且

服从大数定律.

相互独立，且

所以

【答案】因为

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

二、计算题

9． 设A ，B , C 两两独立，且

（1）如果（2）如果

，试求x 使. ，且

达到最大.

求.

【答案】三个事件A ，B ，C 两两独立是指仅成立

而不要求

不然. 这里由A , B , C 两两独立，且

（1）由

三项式的最大值在x=0.5达到.

（2）由，

10．设二维离散随机变量

解得两个解为

，而

不符题意，

所以得

C 相互独立必导致两两独立，成立. 可见A , B ，反之，可得

知

，而

这个二次

的联合分布列为

表

1

试求

【答案】因为

和

所以用

这一列的各个概率

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