2018年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设存在，且N 与
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
所以
2． 证明:
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
3． 设为
是来自泊松分布
的样本，证明:当样本量n 较大时，
的近似
置信区间
. ，则
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有其中
和
可表示为
这就证明了的近似
置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
于是，的近似
置信区间可进一步简化为
4． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得
5． 设证明:统计量
【答案】分几步进行:
，因而
可得
和，
，
得
. 进一步由
得
.
又因为
，
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从
（1）若这是因为其中（2）若故
仅在
且的反函数当
则
为连续严增函数，则也存在. 于是
当
上取值，所以当
时，
的分布函数为
所以
上取值， 当
分布函数，即
时，有
相互独立，
这是由于y 仅在
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由
由（1）与（2）可知
的相互独立性可导致
6． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
方差为与
的相关系数为
为的线性无偏估计量，故
是来自该总体的一个样本，
为的任一
7． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
而
故有
从而
8． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
为总体的样本,