2018年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
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，证明:
；
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
2． 证明:对正态分布
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
3． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当
时，
有
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
且
（3）右连续性.
4． 总体
（1）证明
，其中
是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
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这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
是
的相合估计.
上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.
所以
令
W
的逆变换为
此变换的雅可比行列式为
所以由此得
的联合密度函数为
的边际密度函数为
这表明:
服从参数为1的指数分布.
的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数
5． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:
【答案】因为
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