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一、计算题

1．

某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，测得样本标准差为导线的标准差显著地偏大？

【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为

若取查表知拒绝域为由所给条件可得出检验统计量为

因此拒绝

，在显著性水平

下认为这批导线的标准差显著地偏大.

，样本标准差s=2.6cm，

2． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取

【答案】这里的原假设和备择假设分别为

拒绝域为

当取

时，

检验统计量

u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.

3． 测得两批电子器件的样品的电阻（单位：）为

表

设这两批器材的电阻值分别服从分布（1）试检验两个总体的方差是否相等（取（2）试检验两个总体的均值是否相等（取

； ））.

，且两样本独立. ）？

今在一批导线中随机抽取样品9

下能否认为这批

设总体为正态分布，问在显著性水平

【答案】（1）对于检验两总体方差是否一致，应使用F 检验，此处，由样本数据计算可得到

若

取

或

则

而

，

其拒绝域

为

由于F 值没有落入拒绝域内，可以认为两个总体的方差相等.

（2）因为在（1）中已经接受了两总体方差一致这一事实，从而在检验均值情况时，可以用

两样本t 检验，当时，拒绝域为

这里有

故接受可认为两个总体的均值相等.

4． 某箱装100件产品, 其中一、二和三等品分别为80, 10和10件. 现从中随机取一件, 定义三个随机变量

如下

试求随机变量【答案】因为

和

的相关系数

所以有

由多项分布可导出

的联合分布列如下

表

1

譬如,

表

2

所以

由此得

5． 由经验知某零件质量为

已知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取双侧假设检验问题，

检验的拒绝域为可算得，

由于

由此获得乘积的分布列

（单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量

）？ 由

查表知

使用样本数据

【答案】本题归结为对方差已知时检验正态总体均值μ=15的问题，而且这是，而且这是一个

故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.

6． 在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信水平为0.90的置信区间.

【答案】此处n=80较大，可用正态分布求其近似置信区间. 不合格品率的为

此处

，因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为

7． 为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从某年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g ）:

12月：6月：=0.05）?

【答案】设冬、夏两季新生女婴的体重分别服从

因而，考虑检验统计量

所以不拒绝原假设，不能认为女婴体重的方差是“冬季的比夏季小

8． 设

来自伽玛分布族

的一个样本, 寻求

的充分统计量.

考虑检验问题：

近似置信区间

假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取（α

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

或

是充分统计量.

二、证明题

9． 设随机变量量.

【答案】

令

, 则由X 的特征函数

..

, 证明:当时, 随机变量按分布收敛于标准正态变

可得