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一、计算题

1． 设回归模型为

试求

的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？

【答案】似然函数为

其对数似然函数为

导并令导函数为0，得到如下似然方程组

经过整理可以解出

可以看到

的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.

，将其分别对（忽略常数项）

求

2． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:

求

和

的联合分布列.

的联合分布列共有如下4种情况:

所以

的联合分布列为

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【答案】

表

3． （泊松大数定律）设的概率为

为n 次独立试验中事件A 出现的次数, 而事件A 在第i 次试验时出现

则对任意的

, 有

【答案】记

则

所以由切比雪夫不等式, 对任意的

有

即

4． 设从总体计算得

（1

）若已知（2）若已知（3）若对（4）求【答案】（1）在

求一无所知，求

都已知时，

，求和总体

的置信水平为95%的置信区间； 的置信水平为95%的近似置信区间；

的

的置信区间为

经计算

，查表得

，因而

的置信水平为95%的置信区间为

（2）当

时，

的

的置信区间为

这里

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中分别抽取容量为的独立样本，可

的置信水平为95%的置信区间；

的置信水平为95%的置信区间.

而，因而的置信水平为95%的置信区间为

（3）当的

未知时，由于两个样本量不是很大，故可采用一般场合下的近似置信区间，

即的近似置信区间为

. 这里

又查表得

（4）

的置信水平为95%的近似置信区间为

的置信水平为95%的置信区间为

，因而

查表得

区间为

因而的置信水平为95%的置信

5． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作，Y 〜b （3，p ）. 的元件数. 则X 〜b （5，p ）

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

即

上述不等式可简化为从而有

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