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一、解答题

1． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。

【答案】因

2． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么

【答案】

在几何上表示什么？

与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有

2

。

表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x

轴旋转一周而得到的旋转体的体积。

3． 如果在时刻t 以的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，

那么

表示什么？ 【答案】

4． 求函数

令其为0，解得驻点为

又闭区域

在区域

对

的偏导，得

。

在直线

上，

，则令

在直线在直线

上，上，

，则令，则令

，得

，得

在直线

上，

，则令

，得

比较以上所有函数值，可知函数Z 在D 上的最大值为1，最小值为0.

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表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。

上的最大、最小值。

，并

【答案】由题意，分别求出函数

。可知，该驻点在区域D 内，且

的边界由四线段构成：

二、计算题

5． 已知

【答案】因为

于是

6． 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：

（1）x=0; （2）3y －1=0; （3）2x －3y －6=0; （4）（5）y ＋z=1; （6）x －2z=0; （7）6x ＋5y －z=0.

【答案】（l ） ～（7）的平面分别如图1-图7所示. （1）x=0表示yOz 坐标面. （2） 3y －1=0表示过点（4）

且与y 轴垂直的平面.

;

，计算在x=2处当△x 分别等于1, 0.1, 0.01时的△y 及dy 。

（3）2x －3y －6=0表示与z 轴平行的平面.

表示过z 轴的平面.

（5）y ＋z=1表示平行于x 轴的平面. （6）x －2z=0表示过y 轴的平面. （7）6x ＋5y －z=0表示过原点的平面

.

图1 图2 图3

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图4 图5 图

6

图7

7． 判断下列反常积分的收敛性：

（1）（2）（3）（4）

的瑕点，而

收敛，故

的瑕点，而

，因此

收敛，故

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【答案】（1）x=0为被积函数敛，又由于

，而

，因此

收敛，因

收敛。 因此

收

x=2为被积函数（2）收敛，又由于

（3）

收敛。