2017年兰州交通大学数学基础与计算之高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
于是
代入
，即得
，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
，代入初始条件：t=0，h=0，得
（s ）。
2． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件:
（1）（2）
（3）
【答案】（1）由（2）由
，故
（3）由
得
由
得
，不妨取
注：取
，可得同样结果。
得
=5，将x=0，y=5代入函数关系中，得c=-25，即
，将x=0，y=0及
，将
及
代入以上两式，得
。
代入以上两式，
得
，由①式得，故
3． 小船从河边点0处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为a ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k ）. 求小船的航行路线.
图
【答案】设小船的航行路线为C :
则在时刻t ，
小船的实际航行速度为速;
为小船的主动速度.
，故有
由于小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向（如图）
分离变量，得
，代入3x=0，y=0，得C=0，故小船航行的路线的方程为
由于小船始发于点（0，0）
，
其中为水的流
，积分得
4． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
，则
，
二、计算题
5． 己知水渠的横断面为等腰梯形，斜角
【答案】由题意知
又
所
以
。
6． 求下列幂级数的收敛区间：
【答案】（1）
因
故收敛半径为（2）
收敛区间为
因
，而h>o
且
得
，因此湿周函数的定义域
为
。当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时，求湿
周L （L=AB+BC+CD）与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。
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