2018年天津理工大学新能源材料与低碳技术研究院805量子力学考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． —自旋中的矩阵为
（1）不考虑空间运动，由求任意时刻f 的波函数
的粒子的哈密顿算符
为实常数。
确定自旋运动定态能量. 与定态波函数并求
和
的几率。 时波函数为
其中
及能量£
、动量
已知
时，
其中，
，
在表象
（2）同时考虑空间运动和自旋运动，已知
是的本征值
与自旋的平均值：【答案】（1
）
本征方程
为
的本征函数，求任意时刻的波函数
若
设
即需
解
方程有非零解，则必有
可得：
因此：
任意时刻，因为
时刻，
且：
故：
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的几率为：
的几率为：（2）容易证明，
时刻，粒子的空间波函数为
的本征态，对应本征值为
因此：
故：
2． 己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数（3）对于本征态【答案】⑴（2） 所以
|
（3）对于本征态量的z 分量：
3． 设有三个
其对应的能量为：
自旋算符
组成的系统，其哈密顿量为
试
角动量：
角动
本征函数可以表示为
求氢原子的归一化本征函数
其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？
其中a 为波尔半径.
（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；
（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数
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【答案】哈密顿量为
其中
能量与无关，可由
时，能量为
时，能量为
时，能量为
当
故系统的力学量完全集为完全确定
. .
可取值个数确定，则
完全确定时，能级简并度将仅由
可取值的个数为2, 故简并度为
2.
可取值个数为2，故简并度为
2. 可取值个数为4，故简并度为4.
4． 在并将矩阵
的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.
其中本征函数：
求
的本征值和归一化的本征函数，
【答案】（1）设的本征方程为：
容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为
（2）将
表象中
的三个本征矢并列，得到从
表象到
表象变换矩阵
利用变换公式：
得到的对角化矩阵
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