2018年仲恺农业工程学院农药学314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
2． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
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所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B
对应n-1重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵
B 存在
n 个线性无关的特征向量
，即矩阵
B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与
相似.
3
． 设三维列向量组
（Ⅱ）
当
线性无关，列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关
，故存在一组不
即，
线性无关
，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为
0.
使得可同时由向量组
【答案】（
Ⅰ）由于
4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为_意非零常数.
所有非零解_t 为任
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因此，
所有非零列向量
4．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
二、计算题
5． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求
【答案】
令
的特征值. 又
：
征值性质得
6．
设
求3AB-2A
及
是
的全部特征值. 由特是
因1，2, 3是A 的特征值，
故
为3阶方阵，
于是
【答案】于是
因
即A 为对称阵，
故