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一、填空题

1．

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

的关系是_____。

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。 【答案】主；角；磁；

2． 总散射截面Q 与微分散射截面 【答案】

3．

一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

4． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】

中运动，其状态波函数

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

二、计算题

5． 一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .

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式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

一级修正能量

故由微扰引起的能级移动为

二级修正能量

6． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.

【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为

（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为

对应能量为

.

（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是

对应能量为

.

（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋已知

对应的本征函数有4个：

是交换反对称的，要配对称的空间波函数；

是交换对称的，要配反对称

对应能量为

.

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的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是

7． 在一维情况下，若用（a ）从薛定谔方程出发，证明

表示时刻t 在区间内发现粒子的几率.

其中

是几率流密度.

（b ）对于定态，证明几率流密度与时间无关. 【答案】（a ）设t 时刻粒子的波函数

波函数满足薛定谔方程：

对（1）两端取复共轭得，

做运算

得

上式两边同除以移项得，

则几率流密度公式为上式可表示为

两端积分得：

又由于t 时刻在区间（a ，b ）内发现粒子的几率为：代入上式可得，

（b ）对于定态波函数

代入几率流密度方程

可得，

是一个与t 无关的量，故定态的几率流密度与时间无关.

8． 考虑一维双势阱：

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.

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其中

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本