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一、选择题

1． 假定角动量平方算符的选择为（ ）

【答案】C

2． （1）

【答案】

_____；（2）

下列算符

与对易的有_____。 【答案】

4． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为

现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E.

【答案】B

5． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。

【答案】厄米；厄米

第 2 页，共 53 页 的本征值分别为和如果则可能是本征值_____。 3． 已知体系的哈密顿算符为

为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出

6． 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为

势阱范围为

则体系的基态能量是（ ）。

【答案】E

二、简答题

7． 写出泡利矩阵。 【答案】

8． 电子在位置和自旋表象下，波函数

【答案】

利用

的几率密度；表示粒子在如何归一化？解释各项的几率意义。 进行归一化，其中

：处的几率密度。 表示粒子在

|

处

9． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在用算符的本征函数展开

态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是得到结果在范围内的几率

为

10．非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。

【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符

数。

（3）将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：

得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函

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则在

盔中测量力学量得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率是

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。

11．自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

12．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

13．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

14．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

【答案】对易关系为测不准关系为

15．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？

【答案】不改变。根据对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

16．厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

三、证明题

17．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数.

（2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交.

（3）对于角动量算符证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

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【答案】（1）证：对于厄米算符