2018年沈阳师范大学物理科学与技术学院628量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、选择题
1． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。
【答案】厄米；厄米
2． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】
3．
_________________________。 【答案】
4． 量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。
【答案】厄密；完全系
5． 光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】A
【解析】由德布罗意波长公式
6． 如果
【答案】C
是厄米算符，并且则下列是厄米算符为（ ）。
波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A. 可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为
二、简答题
7． 写出在
【答案】表象中的泡利矩阵。
8． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
9． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
10．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。
【答案】对易关系为测不准关系为
11．什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？
【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。
线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
12．如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
13．现有三种能级
【答案】请分别指出他们对应的是哪些系统。 对应一维无限深势阱；对应对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
14．描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
15．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
16．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由.
【答案】量子态的叠加原理：若为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合
仍然为粒子可能处于的态.
叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.
三、证明题
17．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设是束缚态的波函数，相应的本征能量色试证明这两个波函数对应的态矢正交.
【答案】由题意
并在方程两边同时积分
有 考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有
又则
设粒子本征波函数完备集为则由正交归一化条件有
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有 此即亦即两个波函数对应态矢正交.
18．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。
【答案】设为幺正变换，则:
可得：（其中）
可见，本征值不变。
四、计算题
19．若是电子的自旋算符，求：
（1）
（2）