2018年沈阳工业大学理学院612量子力学考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
2．
一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】
则
的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与
、a 的关系是 ; 哈
的跃变条件为_____。
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
3． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
的整数倍；对称变换
4． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象
；
二、计算题
5． 在【答案】
本征方程为：
即：
由此得：即：
表象中，求
是
方向的单位矢。
的本征值和本征态，这里，
有非零解的条件是：由此得：可求得与
对应的本征矢为：
与
6． 设
对应的本征矢为：
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：
（3）在
下的平均值为：
7． 给定方向的单位矢量：
计算在该态上测量
所得的可能测量值及相应几率。
而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在
为
【答案】（1）
表象中：
表象中的本征态：
的本征值和本征函数。
设
本征值为
本征函数为
则:
解得：当
时，
并利用归一化条件可以取
当（2）设
时，并利用归一化条件，可以取
已知
因此测量
可能的测量值为
其中结果为1的
概率为：
结果为-1的概率为：