2018年仲恺农业工程学院农药学314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
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2018年仲恺农业工程学院农药学314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（一） ... 2 2018年仲恺农业工程学院农药学314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（二） ... 7 2018年仲恺农业工程学院农药学314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（三） . 16 2018年仲恺农业工程学院农药学314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（四） . 23 2018年仲恺农业工程学院农药学314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（五） . 30
一、计算题
1． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布
，有两个可能取值:1.5和1.8, 且先验分布为
现检查了一页，发现有3个错别字，试求的后验分布. 【答案】
由以上结果我们可以得到的后验分布
2． 总体
间的长度不大于k.
【答案】由己知条件得的0.95置信区间为
其区间长度为由于
，故
时，才能保证，若使
，只需，
，
的置信水平为
的置信区间的长度不大于k.
.
，
已知，问样本容量n 取多大时才能保证的置信水平为
的置信区
，因此
即样本容量n 至少
3． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.
【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y ，则（x ，y ）的可能取值形成如下单位正方形示为
其面积为
，而事件A “两数之和小于7/5”可表
，其区域为图1中的阴影部分.
图1
所以由几何方法得
4． 在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9, 0.8和0.85，求一小时内
（1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率.
【答案】设事件A ，B ，C 依次表示甲、乙、丙三台机床需要维修. （1）（2）（3）
5． 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241的指数分布. 试求
【答案】
6． 设随机变量X 和Y 相互独立, 且均服从参数为1的指数分布,
求: （1）随机变量V 的概率密度（2）
故V 的概率密度为
（2）解法1:
. 的分布函数为
. .
；
【答案】 （1）X 与Y 的分布函数均为
的分布函数为
故U 的概率密度为
解法2:因为
, 故
.
7． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
. 由
得
，两边取对数解得
，所以取n=4, 即投掷4次可以保证至少一次出现
点数为6的概率大于1/2.
8． 把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率.
【答案】考虑n 个“1”的放法:2n 个位置上“1”占有n 个位置，所以共有这共有
种放法，于是所求概率为
具体可算得愈小，最后趋于零.
随着n 的增加，此种事件发生的概率愈来
种放法，这是
分母，而“没有两个1连在一起”，相当于在n 个“0”之间及两头（共n+l个位置）去放“1”，
为“第i 次投掷时出现点数为6”，
二、证明题
9． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
10．设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
.
证明:当时，随机变量
则由X 的特征函
数
按分布收敛于标准正态
可
得