● 摘要
数学、物理、力学等学科和工程技术中许多问题的解决最终都归结为解一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组,而对这种方程组一般采用迭代法求解. 研究迭代法的关键是迭代格式的收敛性和收敛速度.迭代不收敛的格式自然不能用, 虽然收敛但收敛很慢的格式使用起来不仅人工和机器的时间比较浪费, 而且还不一定能得出结果,因此必须寻求收敛速度比较快的格式, 所以迭代方法的收敛速度成为一个很重要的问题. 从而我们应该找一种收敛速度比较快的迭代方法, 这样才有实际的价值.为了更好更快地解线性方程组,我们引进了非奇异预条件矩阵, 通过预条件矩阵来改变迭代法的收敛速度. 本文是在预条件矩阵的基础上, 提出了更有广泛性的AOR, 2PPJ, USSOR迭代法，得到了一些比较定理,推广了前人的结果.
本文共分为四章, 各章的主要内容如下:
第一章 绪论. 主要叙述了迭代法在求解线性方程组中的运用, 同时回顾了一些常见的预条件矩阵, 及不同预条件矩阵下提出的不同迭代方法和在不同预条件矩阵下得到的一系列比较定理.
第二章 预备知识.主要给出本文所需要的基本知识和引理. 例如阵,阵, 正规分裂,弱正规分裂的定义及其有关的分裂理论和方法.
第三章 预条件下的迭代方法. 本章是本文的主要结论部分. 首先在预条件下提出AOR, 2PPJ迭代法, 得出了
当系数矩阵为阵时, 预条件下AOR方法的比较性定理及2PPJ方法的比较性定理; 其次讨论了当系数矩阵为阵时, 预条件下的系数矩阵仍是阵, 即预条件下Gauss-Seidel方法是收敛的; 最后用数值例子来验证本章的结论.
第四章 预条件下的迭代法比较性定理.当预条件中的时, 预条件即为预条件.本章在下提出USSOR迭代法. 并得到了当系数矩阵为阵时,USSOR迭代法的比较定理.最后用数值例子来验证本章的结论.