2018年华中农业大学动物科学技术学院、动物医学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
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则矩阵
解得
B 矩阵的特征值为
：当
时
，解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于解
得对应的特征向量为：
将单位转化为：.
令X=Qy, 则
3． 已知
，求
【答案】令则且有1
所以
4． 设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设
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则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
二、计算题
5． 设n 阶矩阵A ，B 满足
【答案】
显然A 与B
的对应A 与B
有对应于
另一方面
，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
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