2018年华中农业大学动物科学技术学院、动物医学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2． 设线性方程
m
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
【答案】
对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，如下
（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（4）当
即
3．
设n 维
列向量
【答案】记
时
此时方程组无解
.
线性无
关，其中S
是大于2的偶数. 若矩阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
4
．
设二次型
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
记
（1）证明二次型f 对应的矩阵为（2）若
【答案】（1
）由题意知，
正交且均为单位向量，
证明f 在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以为矩阵对应特征值
所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量； 的特征向量；
也是矩阵的一个特征值
；
二、计算题
5． 设
线性无关，
线性相关, 求向量B 用
线性表示的表示式.
使
【答案】方法一、因
线性相关，故存在不全为零的常数
，不然，由上式得
因线性无关，故