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一、解答题

1．

已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ

）求【答案】

当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，

则当g=0时，

则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征

的基础解系.

有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

（Ⅱ

）

2．

设矩阵

求一个秩为2的方阵B. 使

知

的基础解系，

即为

的特征向量

【答案】

令

即

进而解得的基础解系为：

取.

令

3． 设二次

型

（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ

）求【答案】

（Ⅰ）由

则有

.

的另一解为

方阵B 满足题意.

矩阵A 满足AB=0, 其

中

为标准形，并写出所用正交变换；

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

记

值（至少是二重）

，

根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

正交化，

令的特征向量为

有

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知

，是矩阵A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形（Ⅱ）因为

有

进而

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又所以由

于是

得

且

其

中

4． 已

知实二次

型

的矩

阵A ，满

足

（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （

Ⅱ

）求出二次型【答案】

（Ⅰ）由由

知

，B

的每一列

满足

的具体表达式.

知矩阵A 有特征值

即

是属于A 的特征值

.

则

与—

j 正交，于是有

令

的线性无关特征向

显然

B 的第

1, 2

列线性无关，

量

，从而知A

有二重特征值

设

对应的特征向量为

解得

将

正交化得：

再将正交向量组

单位化得正交单位向量组：

令

（Ⅱ）由于

则由正交变换

故

化二次型为标准形