2016年武汉纺织大学管理学院815运筹学考研冲刺密押卷及答案
● 摘要
一、证明题
1． 证明:r （x ）二x12+x22是严格凸函数。 【答案】首先求导为（2x l ，2x 2:） 求海塞矩阵
为正定矩阵，所以f （x ）为严格凸函数 2． 证明:设
，则
为G 的解的充要条件是:存在数。（本章定理4）
，使得
和
分别
是不等式组（I ）和（II ）的解，且
【答案】（l ）先证充分性。由于x*是不等式组（I ）的解，
且
又由于
是不等式组
的解，且
②
由式①和式②，可知
**
故由教材第390页的定理3可知，（X ，Y ）为G 的解。
则
，
*
*
（2）再证必要性，由于（X ，Y ）为G 的解，所以有
，因此X 和Y 分别是不等式组（I ）和 （）
*
*
的解，且v=VG 。
3． 对于M/M/1/N/∞模型，试证，并对上式给予直观的解释。
【答案】若令，
则有
所以
，即
此系统的等待空间有限制，即一旦顾客满N 个，新来的顾客就无法进入系统，此时到达率为零。故这里需 要求出实际进入系统的平均到达率
。由于正在被服务的顾客平均数为
另外，在单位时间内实际进入服务系统的顾客平均数
为
。
。因此
，
二、计算题
4． 某工厂备购置一台新机器来扩大生产，新机器安装使用期为三年，在此之后不再使用。然而工作的三年 内，负荷较大，随着时间的增长，运行和保修费用将有较大幅度增加。因此，在机器使用1年或2年后再购置一 台新机器来代替它可能更经济，表给出了第i 年底购进一台新机器并在第j 年底将其卖掉所花费的总费用（购 置费加运行和保修费减残值，万元）。试将该问题描述成最短路问题，并求解。
表
【答案】把这个问题化为最短路问题。
图
用点v i 表示第i 年年初购进一台新设备，虚设一个点v 4，表示第3年年底。 边（v i ，v j ）表示第i 年初购进的设备一直使用到第j 年年初。 这样设备更新问题就变为:求从v 1，到v 4的最短路问题，计算结果表明:长为14. 即在第二年底更换新设备为最优决策，这时总费用为14万元。 5． 用改进单纯形法求解以下线性规划问题。 （1）
（2）
-x
为最短路，路
【答案】 （1）在上述线性规划的约束条件中分别引入松弛变量x 4，x 5，并化为标准型:
，初始基变
量
，对应的系数
x 1 为换入变量。
由此得到新的基B 1、基变量X BI 及系数C B1、非基变量X N1及系数C N1分别为:
计算换入变量x l 的系数向量P 1及B 1为:
-1
得到初始
基，对应的系
数
。非基变量的检验数
；非基变
量
，则