2016年武汉纺织大学管理学院815运筹学考研内部复习题及答案
● 摘要
一、证明题
1． . 令试证
【答案
】
为一组
使得
用
左乘上式，并且由共轭关系可知：
令由
知BA=E，所以故得证。
2． 对于M/M/c/∞/∞模型，（1）
【答案】（l ）因为以（2）
即其中，
为系统服务台的平均空闲个数，
则为系统服务台的平均
。
；（2）
，其中
是每个服务台的平均服务率，试证:
，并给予直观解释。
为系统服务台的平均繁忙个数，即为服务台的强度，所
。
A
共轭向量，它们必线性无关。
则
。
，A 为为一组A 共轭向量（假定为列向量）
对称正定矩阵，
繁忙个数，即为服务台的强度。
3． 现有一个线性规划问题（P 1）:
, 其对偶问题的最优解为Y*=（y1, y2, y3, …ym ）
另有一线性规划（P 2）:
【答案】问题（P 2）的对偶问题为:
问题（P 2）的对偶问题为:
其中，d=（d 1, d 2, ...d 3）T 。 求证:
易见，问题（P 1）的对偶问题与问题（P 2）的对偶问题具有相同的约束条件，从而，问题（P 1）的对偶问 题的最优解
令问题（P 2）的对偶问题的最优解为
一定是问题（P 2）的对偶问题的可行解。 ，则:
。
因为原问题与对偶问题的最优值相等，所以
二、计算题
4． 已知LP 问题为
要求:（1）设其对偶变量为y 1, y 2, y 3, y 4，写出其对偶问题; （2）已知原问题最优解【答案】（l ）对偶问题为:
, 试根据对偶性质直接求出对偶问题的最优解。
（2）将原问题的最优解代入原问题的约束条件，得原问题中的第四个约束条件为严格不等式，由互补松弛性得y 4*=0。因为x 1，x 2，x 3≥0，所以对偶问题的前三个约束条件应取等式。
即因此
表
5． 某工程的各工序的清单及直接费用增长率如表所示。
（l ）画出双代号（箭线式）网络图，在图上计算各工序的时间参数; （2）标出关键路线，总工期是多少?
（3）若将工期限制为33天，应压缩哪几个工序的工时，各压缩几天? 为什么?
【答案】（l ）画出双代号网络图，并在图上计算个工序的时间参数（前者为工序最早开始时间，后者为工序最迟 结束时间）如下:
图
（2）关键路线为
总工期为37天。
（3）要将工期限制为33天，则要缩短关键路线的长度。关键路线中B ，D ，F , G , H 中，B 的直接费用增长率最 小，首先缩短B 的工时1天，F 、D 的直接费用增长率次之，所以二者共缩短3天即可达到目标。于是优化方案 有两个: ①缩短B 工序1天，缩短F 工序3天;
②缩短B 工序3天，缩短F 工序2天，缩短D 工序l 天。
6． 某工厂为职工设立了昼夜24h 都能看病的医疗室（按单服务台处理）。病人到达的平均间隔时间为15min ，平均看病时间为12 min，且服从负指数分布，且工人看病每小时给工厂造成的损失为30元。
（l ）试求工厂每天损失期望值;
（2）问平均服务率提高多少，方可使上述损失减少一半?