2017年南京师范大学F093概率论与数理统计之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，测得样本标准差为导线的标准差显著地偏大？
【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为
若取查表知拒绝域为由所给条件可得出检验统计量为
因此拒绝
，在显著性水平
下认为这批导线的标准差显著地偏大.
的密度函数.
2． 设随机变量X 服从区间（1，2）上的均匀分布，试求
【答案】X 的密度函数为
2）由于X 在（1，内取值，所以2）上为严格单调増函数，其反函数为函数为
3． 己知
【答案】由条件概率的定义知
其中
再由
可得
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今在一批导线中随机抽取样品9
下能否认为这批
设总体为正态分布，问在显著性水平
的可能取值区间为1
，且
且
所以
在区间（1，
的密度
代回原式，可得
4． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布发现有126个疵点，在
显著性水平为0.05下能否认为该种布每平方分米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值.
【答案】以X 记每平方米上的疵点数，则可认为; f-PU ），需要检验的假设为
由于n=100, 故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是因而，检验的统计量为若取由于u 在
则
检验的拒绝域为
这里u=2.6落入拒绝域，故拒绝原
若规定长度在范围而
假设，认为该种布每平方米上的平均疵点数不超过1个的结论不成立.
成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为
5． 由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从正态分布10.05±0.12内为合格品，求螺栓不合格的概率.
【答案】记螺栓的长度为X ，则
为检验
试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率.
是检验拒绝原假设的概率，
为
的函数，
为
当当
7． 设
时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为
即是来自
在0.5到0.75间变动.
的样本,
试求常数c 使得
的自由度.
【答案】由条件:立, 因而
, 故
这说明当
时,
, 自由度为
且
相互独
服从t 分布, 并指出分布
时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，它
是
现观测1
6． 设总体密度函数为个样本，并取拒绝域为
【答案】由定义，检验的势函
数
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8． 设是来自均匀分布的样本, 试给出一个充分统计量.
【答案】总体的密度函数为
于是样本的联合密度函数为
即
令
, 并取
由因子分解定理,
为参数（
）的充分统计最.
二、证明题
9． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
10．设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.
【答案】因为
上式移项即得结论.
11．设
服从多项分布
其概率函数为：
其中即
其中
，i=l, ……k ,
.
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证明：2P （ABC ）=P（AB ）
为参数，若的先验分布为Dirichlet 分布，
记并把这一分布记作. 证明：的后验
分布为Dirichlet 分布