2018年南开大学数学科学学院847概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数
【答案】记（1）（2）
2． 设二维随机变量（U ）的联合密度函数为
【答案】P （x , y ）的非零区域与
，试求
的交集为图阴影部分，所以
服从伽玛分布
；
设各周的需求量
相互独立，
且密度函数都为
（2）三周需求量的密度函数
为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.
，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为
, 其密度函数为
图
3． 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求
【答案】由古典概率可得
这就给出了
的分布列
表1
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和的分布.
类似地，从而
这就给出
的分布列
表
2
4． 将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，
记
【答案】这是一个配对模型, 有即
.
，所以
试证明:
所以由切比雪夫不等式，任对
5． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求
【答案】由条件知
6． 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为
. 如今餐厅有50个座位，但预定给了52
. 因为“顾客来到
位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？
【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则
餐厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为
7． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.
【答案】设事件
”，为“恰好结成n 个圈记
，又记事件B 为“第1根绳子的两个
容易看出
所以得递推公式
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头相接成圈”，则由全概率公式得
由此得
8． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ）, 则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间是什么？
【答案】
9． 设随机变量X 与Y 独立同分布，试在以下情况下求
（1）X 与Y 都服从参数为p 的几何分布； （2）X 与Y 都服从参数为
的二项分布.
服从负二项分
布
由此得，当
时，
（2）因为
所以
所
以
【答案】（1）因
为
注:此题说明，
在
的条件下，X 服从超几何分布. 如果将此题改成
且X 与Y 相互独立，则可得
10．某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.
（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？
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