● 摘要
Y.Imai和K·Iseki等日本数学家分别在1965年和1975年引入了BCK-代数和BCI-代数及其理想的概念，并用理想刻划了几类BCK-代数。BCK-代数和BCI-代数是由命题演算中抽象出来的代数系统，偏序半群的理论已被广泛应用于计算机科学及近代无线电通讯等邻域中。L.Zadeh在1965年提出了Fuzzy集的概念后，国内外数学家们把它应用到自然科学的各个分支中，并提出了很有实际意义的结果。1971年R·S·Das和A·Rosenfeld将此概念应用到群的基本理论中，提出了Fuzzy群及Fuzzy半群的概念。黄文平与王奠军说明了BCK-代数的伴随半群是一个负偏序半群，并讨论了BCK-代数的理想与其伴随半群的序滤子之间有一一对应关系。溪欧根把Fuzzy集的概念应用BCK-代数中，引入了BCK-代数的Fuzzy理想的概念，并得到了有意义的结果。1990年R·Biswas引入了Anti Fuzzy子群的概念。Y·B·Jun将Biswas的思想应用于BCK-代数中，引入了BCK-代数的Anti Fuzzy理想的概念。本文的木的是在BCK-代数的伴随半群中引入Fuzzy序滤子及Anti Fuzzy序滤子的概念，并研究它与前人所研究的结果之间的关系，具有一定的理论意义及参考价值。 本文着重研究了以下几个问题： 1、负偏序半群的Fuzzy序滤子及其性质 2、BCK-代数X的Fuzzy理想与其伴随半群M(X)的Fuzzy序滤子之间的关系 3、正蕴涵BCK-代数的Fuzzy理想诱导的Fuzzy序滤子 4、具有条件（S）的BCK-代数的Fuzzy理想 5、BCK-代数X的Anti Fuzzy理想与其伴随半群M(X)的Anti Fuzzy序滤子之间的关系 在研究上述题中所得的结果为如下： 定义1 设（S,≤）是一个负偏序半群，μ是S的Fuzzy子集。如果满足下列条件： ① μ（xy）=min{μ(x),μ(y)}; x,y∈S ② x≤y推出μ(x)≤μ(y)； x,y∈S 则称为μ为S的一个Fuzzy序滤子。 定理1 设（S,≤）是一个负偏序半群，μ是S的Fuzzy序滤子当且仅当对 λ∈[0,1],非空水平子集μλ是S的序滤子。 设μ是负偏序半群S的Fuzzy序滤子，则在S上可以定义一个关系"~"：x~y当且反当μ(x)=μ(y)。于是有以下结论。 定理2 设μ是负偏序半群（S,≤）的Fuzzy序滤子，则如上定义的关系"~"是一个凸同余关系 定理3 设μ与η为有限负偏序幺半群S(幺元为最大元)的两个Fuzzy序滤子，且μ与η有相同的水平序滤子集族。 则 μ=η当且仅当Im(μ)=Im(η) 引理1 设μ是BCK-代数X的Fuzzy理想，对X中任意元素a1,a2,…,an,b1,b2,…,bm如果再M(X)中有 a1-1a2-1,…,an-1≤b1-1,b2-1,…,bm-1 则 min{μ(a1),μ(a2),…,μ(an)}≤min{μ(b1),μ(b2),…,μ(bm)} 定理4 设μ是BCK-代数X的一个Fuzzy理想，则 Mμ:M(X)-→[0,1],a-1…b-1-→min{μ(a),…,μ(b)}是伴随半群M(X)的Fuzzy序滤子。 定理5 设X时BCK-代数，F时X的伴随半群M(X)的Fuzzy序滤子，则 μF:X-→[0,1], x-→F(x-1) 是X的一个理想。 设X是一个BCK-代数，用?标是X中所有Fuzzy理想所组成的集合，用F表示X的伴随半群M(X)的所有Fuzzy序滤子组成的集合，则有以下结论。 定理6 设X是BCK-代数，μ与F分别是如上定义的集合： 定义： f: ?-→F,μ-→Mμ g: F-→?,F-→μF 则 gf=1? gf=1F 定理7 设μ是正蕴涵BCK-代数的Fuzzy理想，则对 σ，ξ∈M(X),有Mμ(σ:ξ)≥Mμ(σξ) 定理8 设μ是具有条件（S）的BCI-代数X的Fuzzy理想 则 μ（aob）≥min{μ(a),μ(b)}, a,b∈X 推论1 设μ具有条件（S）的BCK-代数的Fuzzy理想，则 μ（aob）=min{μ(a),μ(b)}, a,b∈X 定义2 设(S,≤)是一个负偏序半群，A为S的Fuzzy子集，如果满足下列条件： ①A(xy)=max{A(x),A(y)}, x,y∈S ②x≤y推出A(y)≤A(x), x,y∈S 则称A为S的Anti Fuzzy序滤子 我们可以证明BCK-代数的Anti Fuzzy理想与其伴随半群的Anti Fuzzy序滤子之间有一一对应。