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一、计算题

1． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为

（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；

（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当

时，

当x>0.5时，所以X 的分布函数为

（3）所求概率为（4）所求概率为

2． 设一个单一观测的样本x 取自密度函数为平p （x ）的总体，对p （x ）考虑统计假设：

若其拒绝域的形式为试确定一个c ，使得犯第一，

二类错误的概率满足

并求其最小值. 【答案】由因此，当

时.

，

并且此时的最小值为.

的先验分布是均匀分布U （10，16）. 现有三个观测值

：

i=l，2，3，10＜θ＜16，即

时，

的

可得

3． 设总体为均匀分布

求θ的后验分布.

【答案】当联合分布为

其

中

或

此

处

观

测

值

为

它位于区间（10，16）内，故后验密度函数为

即θ的后验分布为U （11.1, 11.7）.

4． 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为

i=l，2，3，以X 表示3个零件中合格品的个数，求

【答案】记事件

为“第i 个零件是不合格品”，i=l，2，3. 则因为.

所以

5． 掷一颗均匀的骰子2次, 其最小点数记为X , 求E （X ）.

【答案】X 的分布列为

表

所以

试求E （X ）和W （X ）.

由此得

所以

而

6． 设随机变量X 的分布函数为

【答案】因为X 为非负连续随机变量，有

注，此题也可直接计算得，

7． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

求条件概率【答案】因为

.

, 故先求

. 而的非零区域为

图的阴影部分,

所以当-1

因而当-1

所以当0

由此得

图

8． 设二维随机变量

（1）（2）（3）（4）（5）【答案】⑴（2）

（3）

（4）

（5）

的联合分布函数为

, 试用表示下列概率: