当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 已知P （A ）=0.7，P （A9B ）=0.4，试求

2． 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求：

（1）两粒种子都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率.

【答案】记事件A 为“从甲中取出能发芽的种子”，B 为“从乙中取出能发芽的种子”.则P （A ）=0.8，P （B ）=0.9.由经验知，事件A 与B 相互独立.

（1）P （两粒种子都能发芽）（2）P （至少有一粒种子能发芽）

（3）P （恰好有一粒种子能发芽）

3． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

，由此得

【答案】因为0.4=P（A-B ）=P（A ）-P （AB ）=0.7-P（AB ）

试在

时, 求

当

时,

由此得, 在

时,

4． 设总体密度函数为个样本，并取拒绝域为

【答案】由定义，检验的势函

数

当当

时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为

即

在0.5到0.75间变动.

第 2 页，共 26 页

【答案】先求条件密度函数所以

为检验

试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率.

现观测1

是检验拒绝原假设的概率，

为

的函数，

为

时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，它

是

5． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是P. 问每批产品平均要查多少件？

【答案】设每批要查X 件，记q=l-p，则X 的分布列为

表

所以

6． 为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从某年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g ）:

12月：6月：=0.05）?

【答案】设冬、夏两季新生女婴的体重分别服从

因而，考虑检验统计量

所以不拒绝原假设，不能认为女婴体重的方差是“冬季的比夏季小

7． 由经验知某零件质量为

已知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取双侧假设检验问题，

检验的拒绝域为可算得，

第 3 页，共 26 页

假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取（α

考虑检验问题：

（单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量

）？ 由

查表知

使用样本数据

【答案】本题归结为对方差已知时检验正态总体均值μ=15的问题，而且这是，而且这是一个

由于故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.

8． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作，Y 〜b （3，p ）. 的元件数. 则X 〜b （5，p ）

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

即

上述不等式可简化为从而有

二、证明题

9． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为

【答案】

设事件设

则显然有

则由全概率公式得

把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有

类似有

所以代入（1）式得

由归纳法知结论成立.

第 4 页，共 26 页

个

下用归纳法证明.

为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，

记