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一、计算题

1． 杆系由球铰连接, 位于正方体的边和对角线上, 如图1所示。在节点D 沿对角线LD 方向作用力FD 。在节点C 沿CH 边铅直向下作用力F 。如球铰B , L 和H 是固定的, 杆重不计, 求各杆的内力。

图1

【答案】图中杆均为二力杆, 杆系受力分析, 如图2所示。

图2

以D 为研究对象, 由平衡方程

得

解得

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以C 为研究对象, 由平衡方程

得

解得

2． 物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另一端接在绞车D 上，如图1所示。转动绞车，物体便能升起。设滑轮的大小、AB 与CB 杆自重及摩擦略去不计，A , B ，C 三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆CB 所受的力。

图1

【答案】以滑轮B 为研究对象，进行受力分析，如图2所示。

图2

由平衡方程

可得

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其中，解得

3． 如图所示, 物块A 的质量为

B 轮的质量为

半径为R , 在水平面做无滑动滚动. 轮心用刚度

为广义坐标,

为k 长度为1的弹簧与物块A 相连, 物块A 与水平面间为光滑接触. 试以

（1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （2）写出系统的第二类拉格朗日方程； （3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分

.

图

【答案】（1）系统的动能为:

系统势能为:

其中

为处于平衡位置弹簧的伸长量.

拉格朗日函数

（2）第二类拉格朗日方程

代入上一步的表达式, 得

（3）求其首次积分. 因拉格朗日函数中不显含时间t , 故存在能量积分, 系统机械能守恒, 即

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