2018年华中科技大学生命科学与技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化
.
（Ⅲ）当
时，
此时
A
有二重特征值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时
A 不可对角化.
3．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵
A
和B
不相似。
4．
设n 维列向量线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩阵
试求非齐次线性方程组
【答案】记
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为
数.
有无穷多解
. 易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A
为任意常
二、计算题
5． 设
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A 正定由
且由
合起来，当
时，
A 正定，从而f
正定.
知
A
可逆，并且
因为当
为
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3
6．
已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得A 的特征值时，阶方阵，故
是B 的特征值. 分别取
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