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2018年华中科技大学生命科学与技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题

  摘要

一、解答题

1.

为三维单位列向量,并且

证明:

(Ⅰ)齐次线性方程组Ax=0有非零解; (Ⅱ)A

相似于矩阵

故Ax=0有非零解.

(Ⅱ)由(Ⅰ

)知向量.

又且

另外,由

故可知

为A 的特征值

,为4的2重特征值

为对应的特征向量.

为A 的3个

为4的单重特征值.

故A

有零特征值

的非零解即为

对应的特征

【答案】(Ⅰ)由于A 为3阶方阵,且

为两个正交的非零向量,从而线性无关.

线性无关的特征向量,

2. 已知A

即A

相似于矩阵

矩阵,齐次方程组

的基础解系是

有非零公共解,求a 的值并求公共解.

的解.

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

(Ⅰ)求矩阵A ;

(Ⅱ

)如果齐次线性方程组

【答案】(1

)记

A

的行向量)是齐次线性方程组

的列向量(即矩阵

作初等行变换,有

得到

的基础解系为

所以矩阵

则既可由

线性表出,也可

(Ⅱ)设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

线性表出,

故可设

作初等行变换,有

于是

不全为

当a=0时,

解出

因此,Ax=0与Bx=0

的公共解为

3.

已知矩阵

可逆矩阵P ,使

若不相似则说明理由.

试判断矩阵A 和B 是否相似,若相似则求出

其中t 为任意常数.

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B

的特征值也是

时,由秩

A 可以相似对角化.

有2个线性无关的解,

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量,矩阵

时矩阵B 只有1个线性无

只有1个线性无关的解,即

关的特征向量,矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 4. 已知A 是3阶矩阵,是3维非零列向量,若

(Ⅰ)证明

:(Ⅱ

)设

线性无关; 求

【答案】

(Ⅰ)由同特征值的特征向量,

又令即由

线性无关,得齐次线性方程组

线性无关.

且非零可知,是A 的个

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关;

(Ⅱ)因为

,

所以

二、计算题

5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:

(1

(2

(3

【答案】⑴