2018年华中科技大学生命科学与技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1.
设
为三维单位列向量,并且
记
证明:
(Ⅰ)齐次线性方程组Ax=0有非零解; (Ⅱ)A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
(Ⅱ)由(Ⅰ
)知向量.
又且
另外,由
故可知
为A 的特征值
,为4的2重特征值
,
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】(Ⅰ)由于A 为3阶方阵,且
为两个正交的非零向量,从而线性无关.
故
线性无关的特征向量,
记
2. 已知A
是
则
即A
相似于矩阵
矩阵,齐次方程组
的基础解系是
与
有非零公共解,求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
(Ⅰ)求矩阵A ;
(Ⅱ
)如果齐次线性方程组
【答案】(1
)记
A
的行向量)是齐次线性方程组
由
的列向量(即矩阵
作初等行变换,有
得到
的基础解系为
所以矩阵
则既可由
线性表出,也可
(Ⅱ)设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出,
故可设
作初等行变换,有
于是
不全为
当a=0时,
解出
因此,Ax=0与Bx=0
的公共解为
3.
已知矩阵
可逆矩阵P ,使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似,若相似则求出
其中t 为任意常数.
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时,由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解,
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量,矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解,即
关的特征向量,矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 4. 已知A 是3阶矩阵,是3维非零列向量,若
(Ⅰ)证明
:(Ⅱ
)设
线性无关; 求
令
【答案】
(Ⅰ)由同特征值的特征向量,
故
又令即由
线性无关,得齐次线性方程组
线性无关.
且非零可知,是A 的个
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关;
(Ⅱ)因为
,
所以
即
故
二、计算题
5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:
(1
)
(2
)
(3
)
【答案】⑴