2017年南开大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设求样本均值
和
【答案】
因而得
2． 在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ），20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥讨程，下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）：
表
设两样本分别来自不同的正态总体，并假定两总体方差相等，两样本独立，分别以老、新过程的总体的均值，
试检验
【答案】以x , y 分别表示老、新两种过程下的观测值，其样本方差，则中
的无偏估计为
在原假设
为两个总体的共同方差，
又
检验拒绝域为
现取
现由样本观测值可算得
从而检验统计量的值为于2.
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和是两组样本观测值, 且有如下关系
:
和
间的关系.
试
间的关系以及样本方差
表示分别为
其
分别为其样本均值，成立下有
故在原假设成立
下
查表知，从而拒绝域为
由于观测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设，即老、新方法在NDMA 含量的差大
3． 设
是来自帕雷托（Pareto ）分布, 的样本（a>0已
知）, 试给出的充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
,
取
, 由因子分解定理
,
或
都是的充分统计量.
4． 设与独立同分布, 其共同分布为
【答案】先计算
与
试求的相关系数.
的期望、方差与协方差
.
然后计算
与
的相关系数
.
5． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望.
【答案】解法一:分别记此n 个点
（0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求
而.
和
的密度函数分别为
又因为
所以
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则相互独立, 且都服从区间
解法二:n 个点把区间（0, 1）分成n+1段, 它们的长度依次记为是随机取的, 所
以
因此
而相距最远的两点间的距离为
因此所求期望为
因为此n 个点
具有相同的分布, 从而有相同的数学期望.
而
6． 下面是亚洲十个国家1996年的每1000个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）：
日本 以色列 韩国 斯里兰卡 中国 叙利亚 伊朗 印度 盂加拉国 巴基斯坦 4 6 9 15 23 31 36 65 77 88
. 求以M 表示1996年1000个新生儿中的死亡数的中位数，试检验：检验的p 值，并写出结论.
【答案】作差
发现正数的个数为
. 从而检验的p 值为
p 值大于0.05，不拒绝原假设，即可认为中位数不低于34.
7． 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2，你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？
【答案】此车在途中因轮胎损坏而发生故障意味着车上的六个轮胎至少有一个发生故障，为此记事件
，其中i=l，2，表示前面两个轮胎，i=3，4，5，6表示后面为“第i 个轮胎发生故障”
又假设车上的
8． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程
反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程
试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.
【答案】一般不重合. 因为回归方程
可化为
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四个轮胎，
则
六个轮胎工作是独立的，则所求概率为
若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则