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一、证明题

1． 已知

都是可微的,

【答案】因为

故原式成立.

2． 设序列X n 无上界, 求证:存在子序列

【答案】对于

对于对于对于

这样产生一子序列

. , 因为使得

’

使得

,

使得 , 使得

,

有

使得

, 2. 证明:

, 由广义极限不等式推出

3． 设函数f 在区间（a , b ）内的各阶导数一致有界, 即存在正数M , 对一切

证明:对（a , b ）内任一点x 与x 0有

【答案】任意

依题意有

其中

介于与x 之间.

又f 在（a , b ）上的各阶导数一致有界, 故

从而

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由定理得

4．

设证明

:

当时,

u ,

v 可以用来作为曲线坐标,

和

并

解出x , y 作为u , v 的函数；画出xy 平面上u=l, v=2所对应的坐标曲线；计算

验证它们互为倒数.

【答案】

所以

故当

时,

都连续且

由反函数组定理知

, 存在函数组

x=x

（u , v ）, y=y（u , v ）, 从而u , v 可以用来作为曲线坐标.

由

解得

u=l

, v=2分别对应

xy 平面上坐标曲线y=tanx, y=2sinx; 如图1、2所示

图1

图2

因

而前面已算得

即

5． 证明:若f 及其导函数均在则

【答案】由

为f （x ）的傅里叶系数,

为

的傅里叶系数, 依题意, 有

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与

互为倒数.

上可积,

且成立帕塞瓦尔等式,

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因为f 及在

上成立帕塞瓦尔等式

, 所以

所以

二、解答题

6． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:

（1）（2）

【答案】（1）因为

所以（2）因为

由拉贝判别法, 当x>l时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=l时, 原级数化为发散.

7． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）（5）

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故由拉贝判别法可得原级数收敛.

也