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一、计算题

1． 试在数轴上表示出下列不等式的解:

（1）（2）

（3）

【答案】（1）由原不等式得

不等式组①的解

是

不等式组②的解

是

图1

（2）原不等式同解于不等式在数轴上表示如图2所示

.

图2

（3）原不等式的解x 首先必须满足不等式组

解得即

当 2．

arctan

.

时,

不可能成立, 故原不等式无解.

原不等式两边平方得

由此得原不等式的解为

故

的解集

是

在数轴上表示如图1所示

.

【答案】原式

3． 求椭圆的内接矩形中面积最大的矩形.

, 则矩形面积为

的最大值点. 从

【答案】设内接矩形的第一象限内的顶点为求S （x ）的最大值点等价于求

又

即点

是函数f （x ）在[0, a]内的最大值点, 从而也是函数S （x ）在[0, a]内的最大值点,

故最大内接矩形的面积为

4． 利用适当的坐标变换, 计算下列各曲面所围成的体积:

（1）（2）

【答案】（1）令

从而

（2）令

则

从而, 所求体积

5． 设f （X , y ）可微，1是上的一个确定向量，倘若处处有

【答案】设

上确定向量1的方向余弦为

则

试问此函数，有何特征？

.

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又

所以

即

说明函数，在点P （x , y ）的梯度向量与1垂直.

6． 求下列各函数的定义域, 画出定义域的图形, 并说明这是何种点集:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

（7

）（8）（9）（10）

【答案】（1

）函数的定义域为

是无界开点集, 如图1.

图1

图2

（2）函数定义域为（3）函数的定义域为

是无界开点集, 如图2.

是无界闭集, 如图3.

图3