2018年吉林大学南方研究院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故 2．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
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得A ，B 有相同特征值
，
故
由
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
则P 可逆，
且
3．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
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4． 设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为
（
2
）若
【答案】（1）由题意知
，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/对应的矩阵为
（
2）证明
：设则
而矩阵
A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
二、计算题
5． 求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】
记二次曲面为f=l, 则f 为二次型
，它的矩阵为
由
所以A 的特征值为对应于
解方程Ax=0, 由
化成标准方程.
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