2018年吉林大学经济学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
3． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
4．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
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故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量； 的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
二、计算题
5． 设
性表示.
【答案】
必要性：
任给n 维向量b
, 则n 维向量组数大于向量的维数）。
又因
线性无关，可知向量b
必可由
线性表示，则知
线性无关.
（惟一地）线性表示.
能由
充分性：设任一n 维向量能由
6． 求一个正交变换化下列二次型成标准形
（1）（2）
线性表示，特别维单位坐标向量
，b 线性相关（因它所含向量个
是一组n 维向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一n
维向量都可由它线
【答案】（1）二次型f 的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值值为
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