2018年吉首大学数学与统计学院821高等代数之工程数学—线性代数考研核心题库
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2018年吉首大学数学与统计学院821高等代数之工程数学—线性代数考研核心题库（一）.... 2 2018年吉首大学数学与统计学院821高等代数之工程数学—线性代数考研核心题库（二）.... 9 2018年吉首大学数学与统计学院821高等代数之工程数学—线性代数考研核心题库（三）.. 17 2018年吉首大学数学与统计学院821高等代数之工程数学—线性代数考研核心题库（四）.. 24 2018年吉首大学数学与统计学院821高等代数之工程数学—线性代数考研核心题库（五）.. 32
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一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
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，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
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当a=-1
及a=0
时，方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关
，不合题意. 线性无关
，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
知
的基础解系，
即为
的特征向量
3．
已知二次型
的秩为2.
求实数
a 的值
；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】⑴由
可得，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为：当
时，解
得对应的特征向量为
第 3
页
，
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当
时，解
得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为
：
. 令X=Qy, 则
且秩
的值.
4．
设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ）证明
[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形
；
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵
A 的特征值，对应的特征向量为
又因
故有
解得
即或
贝
因为A 是
实对称矩阵，
所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
二、计算题
5
． 设
（1）AB=BA吗? （2）（3）【答案】⑴因
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问
：
吗？ 吗？
故
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