2018年吉林大学经济学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；的所有矩阵为其中
为任意常数.
2． 设
当a , b 为何值时，
存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是
2阶的方阵，
设则AC-CA=B可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下
，
故当a=-1，b=0时
，线性方程组有解，即存在矩阵C
, 使得
AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3． 设线性方程m
为任意常数.
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
【答案】对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，如下
（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
是
3维线性无关列向量，且
故原方程组的通解为
（
3
）当（4）当
即
4． 已知
A 是
3阶矩阵
，
时
此时方程组无解.
（Ⅰ）写出与
A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量
： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
（Ⅱ）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即