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一、计算题

1． 求半径为a 、高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度的空间闭区域

）。

【答案】建立空间直角坐标系，使原点位于圆柱体的中心，z 轴平行于母线，则圆柱体所占

于是所求的转动惯量为

2． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:

（1）（2）

，

，由于图形关于极轴的对称性（如图1），

【答案】（1）首先求出两曲线交点为

因此所求面积为极轴上面部分面积的2倍，即得

（2）首先求出两曲线交点为

和

，因此有

由于图形的对称性（如图2）

图1

图2

3． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？

，根据题意有

【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）

化简整理得

它表示以

为球心，以

为半径的球面.

。当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时，求湿

4． 己知水渠的横断面为等腰梯形，斜角

【答案】由题意知

又

所

以

。

5． 试从

导出

，而h>o

且

周L （L=AB+BC+CD）与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。

，因此湿周函数的定义域

为

得

【答案】

6． 溶液自深18 cm 顶直径12 cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1 cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

，圆柱形筒中水深为h=h（t ）【答案】如图，设在t 时刻漏斗中的水深为H=H（t ）。

建立h 与H 之间内的关系：

又

即

，即

，故

，

上式两端分别对t 求导，得

当H=12时，

，此时

7． 求当x →0时，

【答案】由题意知

因为

所以

因为

，所以

不存在。

的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在。