2018年郑州大学联合培养单位安阳工学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
3．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是当
时，
由秩
知
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A
有2
个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵
A 和
B 不相似。
4． 设
A 为
矩阵且有唯一解. 证明
：矩阵
的解为【答案】由利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，则
由.
得
有
有惟一解知
则方程组
.
即
即
可逆.
为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使.
所只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
二、计算题
5．
已知
3阶矩阵A 的特征值为1
, 2, 3,
求
【答案】令
的特征值. 又：
征值性质得
6． 设n 阶矩阵
A 满足
【答案】
另一方面，由矩阵秩的性质，
知因
7． 设
，故由以上两个不等式知，
是非齐次线性方程组AX=B的一个解，
线性无关；
线性无关.
用矩阵A 左乘上式两边，并注意题设条件，得
是
的全部特征值. 由特
是
因1，2, 3是A 的特征
值，故为3阶方阵，于是
，E
为n 阶单位矩阵，证明
（矩阵秩的性质）。
是对应的齐次线性方程组的一个基
础解系，证明
（1）（2）
【答案】（1）设有关系式
但
，由上式知
，于是，（
1）式成为
因向量组于是
（2
）设有关系式
也即
由（1）
，向量组
，
于是
8
．
在
中取两个基
试求坐标变换公式.
【
答案】记
：到基
:的过渡矩阵为
于是
故得坐标变换公式为
即从基
线性无关，故
，并且
也等于0
, 故所给向量组线性无关.
是对应齐次方程的基础解系
，从而线性无关，
，由定义知
线性无关.
. 用矩阵的初等行变换求
于是所求坐标变换公式为
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