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一、解答题

1． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

线性无关.

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

非零可知，

是A 的个

令

故

2． 已知实二次

型

的矩阵A ，满

足

且其

中

（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形；

（Ⅱ

）求出二次型【答案】（Ⅰ）

由由

知，B

的每一列

的具体表达式.

知矩阵A

有特征值

满足

即

是属于A 的特征值

.

则

与—

j 正交，于是有

令

的线性无关特征向

显然B 的第1, 2列线性无关

，量，从而知A

有二重特征值

设

对应的特征向量为

解得

将

正交化得：

再将正交向量组

单位化得正交单位向量组：

令

（Ⅱ

）由于

则由正交变换

故

化二次型为标准形

故二次型

3． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

所以B 的n

个特征值也为

=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1

重特征值

对于n-1

重特征值由于矩阵（0E-B ）

的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

4．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B

可变形为